Comment comprendre les fonctions en maths?

Avant de vous lancer dans les fonctions, il est fortement recommandé d’avoir bien compris le principe des équations. Car les fonctions sont finalement de la même famille que les équations, tout comme Thalès est de la même famille que Pythagore. Si les mots comme « image », « antécedent », « variations » vous irritent et vous dressent les poils, pas de panique cela a fait le même effet à tous le monde au début! L’être humain a peur de ce qui lui est étrangé et inconnu, alors faisons les présentations sans plus attendre!

 

 

A la fin de la lecture sur les fonctions, vous saurez:

  • comprendre qu’est-ce qu’une fonction
  • comprendre un antécedent, une image et un graphique
  • décrire les variations et le signe d’une fonction
  • faire le lien avec les équations

 

  1. Qu’est ce qu’une fonction?

 

Enfaite, en réflechissant bien, vous connaissez un nombre important de fonction.. Si si je vous assure! Regardez l’image ci dessous:

 

 

Le principe est simple, on envoie quelque chose (un x, une voiture, une grand-mère…) dans un endroit (ici une station de lavage) et il en ressort l’objet modifié grâce à la fonction de l’endroit. Ici, on y envoie une voiture sale dans une station qui a comme fonction de laver les voitures, et il en ressort une voiture propre.

Voyez maintenant la ressemblance avec la fonction f(x)=3x+2 :

On envoie x dans la fonction (voiture sale) et elle nous renvoie 3x+2 (voiture propre).

Si l’on essaye avec un nombre cela donne:

On envoie 2 à notre fonction, elle s’occupe de faire le calcul (3 fois 2 + 2) et elle nous renvoie 8.

Voilà donc le principe d’une fonction, il suffit de voir cela comme une boite dans laquelle on envoi un nombre et qui nous renvoie le nombre auquel on a appliqué un certain calcul (ici 3 fois le nombre +2).

 

2.Antécédent, image et graphique ?

 

 

Pour y placer un peu de vocabulaire (oui il faut bien..) voici le schéma avec les mots à retenir: 

C’est à dire: on envoie un antécédent (voiture sale) dans une fonction (station) qui nous renvoie une image (voiture propre). Cette phrase est radicale pour se rappeler du vocabulaire, lisez la plusieurs fois!

Ici, nous allons utiliser le principe d’un enfant descendant une piste de luge. Imaginons que l’on déclenche un chrono lorsque l’enfant part du haut de la piste.

Vous conviendrez avec moi que plus l’enfant descendra la piste et plus sa vitesse augmentera. Ainsi si à chaque mètre que l’enfant fait on calcule sa vitesse à cet endroit précis, nous pourrons voir l’évolution de la vitesse EN FONCTION des mètres.

Pour revenir à nos fonctions cela se résumerais à cela : 

A chaque mètre on associe une vitesse précise, mais pour voir l’évolution de l’un en fonction de l’autre, nous utiliserons un graphique pour mieux visualiser l’évolution. 

Nous avons donc placé les mètres sur l’axe des abscisses et la vitesse sur l’axe des ordonnés car nous voulions voir l’évolution de la vitesse (ordonnée) en fonction des mètres (abscisse). Nous commençons ensuite par prendre un mètre en particulier (un x, un antécédent) puis nous le relions à sa vitesse à ce moment là, de la manière ci-dessous:

Nous voyons donc qu’au bout de 2 mètres (antécédent) l’enfant à une vitesse d’environs 10km/h (image) et au bout de 5 mètre (antécédent) l’enfant atteint presque 20km/h (image).

 

Vous suivez? Votre intérêt à utiliser les graphiques sera simplement de comprendre un peu mieux la situation. C’est à dire que lorsque vous aurez envie de voir comment évolue une chose en fonction de l’autre, (vos notes pendant la coupe du monde ou la reprise des Anges à Mikonos par exemple…) vous utiliserez un graphique pour voir si cela augmente (croissant) ou diminue (décroissant) lorsque les valeurs évoluent.

Ainsi pour terminer avec notre enfant, voici comment évoluera sa vitesse en fonction de l’endroit où il se situe sur la piste:

 

Bien comprendre un graphique vous servira en Maths, évidemment mais vous partirez également avec un énorme avantage en physique si vous comprenez comment lire un graphique rapidement!

 

3. Décrire les variations d’une fonction

 

 

Maintenant que nous savons comment construire étape par étape un graphique, il peut nous être demandé de le décrire. C’est pour l’instant une étape assez simple car le seul outil qu’elle nécessite est … la vue.

 

Imaginez que vous êtes en voiture, et que vous aborder ce genre de pente:

Dans ce cas, vous allez devoir monter la pente. Graphiquement cela se traduit en disant que notre courbe est croissante, autrement dit que vous devriez la montez si vous étiez en voiture.

Ici, nous avons donc une courbe croissante.

 

Le deuxième cas est le cas où vous aborder ce type de pente avec votre voiture :

Dans ce cas vous allez descendre la pente, et devoir freiner. Graphiquement cela se traduit en disant que la courbe est décroissante, autrement dit que vous devriez la descendre en voiture.

Ici nous avons donc une courbe décroissante.

 

Retenez donc bien ces deux cas. Dans un cas vous aborder une pente montante, en maths on parlera de courbe croissante, dans le deuxième cas vous abordez une pente descendante et nous parlerons donc de courbe décroissante. Dans un cas vous accélérer, dans l’autre vous freinez.

Ces deux mots de vocabulaire (croissante, décroissante) sont très importants et vous les reverrez régulièrement dès que vous aborderez les graphiques en maths ou en physique.

 

4. Quels liens avec les équations?

 

 

Pour rappel, un petit point important à maîtriser avant d’aller plus loin avec les fonctions est l’explication des équations car en effet elles sont en lien direct avec les fonctions et auraient pu être regroupées dans la même leçon, bien qu’elle serait été beaucoup trop longue ducoup. Un round après l’autre !

Avant de vous lancer dans des calculs sans vraiment en connaître la cause, prenez du recul! Comme toujours, prenons un exemple.

La fonction f(x) = 3x+2 est parfait.

Il peut être intéressant de se demander quand est-ce que cette fonction vaut 0? Autrement dit, graphiquement quand est-ce qu’elle coupe l’axe des abscisses? (ici le point rouge)

 

Comme nous l’avons vu dans la leçon sur les équations, ces dernières permettent de résoudre un grand nombre de problème. Ici, pour savoir quand est-ce que notre fonction vaut 0, il suffit (et je pèse mes mots) de résoudre l’équation 3x+2 = 0. (si vous avez des doutes sur la méthode, faite un petit tour par ici)

Après calculs, nous obtenons x= -2/3, ce qui correspond bien au point rouge que l’on avait sur l’axe des abscisses sur le graphique.

Vous voyez le lien? C’est à dire que lorsqu’on envoie -2/3 dans la fonction (antécédent), elle nous renvoie, après calcul, 0 (image).

 

Ainsi on pourra vous demandez de trouvez quand est-ce qu’une fonction vaut 0 graphiquement (en regardant où elle coupe l’axe des abscisses, point rouge) ou à l’aide des équations qui vous donneront certainement un résultat un peu plus précis. (le  » à vue d’oeil » n’est pas apprécié dans les copies de brevet…).

 

A noter que nous l’avons fait ici avec 0 pour l’exemple mais cela fonctionne avec tous les chiffres, si vous voulez savoir quand est-ce que la fonction vaut 3, il suffira de résoudre 3x+2 = 3 par exemple.

 

En résumé:

  • une fonction accomplie une tâche particulière, comme le lavage automatique
  • on y envoie un antécédent et elle nous renvoie son image. (voiture propre/sale)
  • son graphique est composé de l’axe des abscisses (bas) et de l’axe des ordonnées (haut)
  • sa courbe est soit croissante (monte) ou décroissante (descend)
  • résoudre 3x+2 = 0 c’est connaitre l’antécédent à envoyer dans la fonction pour qu’elle nous renvoie 0. (ici la fonction f(x)= 3x + 2)

 

 

Maintenant que vous êtes à l’aise avec les fonctions, je vous laisse tester vos compétences avec ce petit quizz ! Ne quittez pas la page sans avoir eu tout juste, relisez et rectifiez le tir si besoin, les fonctions ne doivent plus vous posez de problème! 🙂

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