Comment factoriser en maths?

Factoriser une expression? Qu’est-ce que cela veut dire concrètement? Y’a t-il des méthodes qui marchent à tous les coups? Vous aurez toutes les réponses à vos questions en étudiant cet article.

A la fin de cet article vous saurez:

  • comprendre le terme « factoriser »
  • factoriser grâce aux facteurs communs
  • factoriser grâce aux identités remarquables
  • calculer plus rapidement

Nous allons essayez de voir de façon très simple les méthodes de factorisation les plus utilisées en maths.

 

Qu’est-ce que factoriser?

 

Avant de nous lancer dans la méthode (trop rapidement), essayons de comprendre la signification du terme « factoriser ». C’est très simple, factoriser c’est simplifier au maximum le nombre de calcul que nous auront à faire pour arriver au résultat (ça a du bon la fainéantise en maths certaines fois).

Les différentes propriétés des multiplications (voir parties suivantes) devront être utilisées, car l’objectif ultime de la factorisation est d’obtenir un produit de deux termes que nous auront plus qu’à multiplier.

1ère méthode: Le facteur commun

 

La méthode de factorisation grâce au facteur commun est très simple, il suffit d’appliquer cette propriété: 

Avant de l’appliquer, comprenons là. Lorsque nous avons un calcul dans lequel le même nombre (k) multiplient plusieurs fois un nombre différent (a et b), alors nous pouvons le mettre en facteur et regrouper les nombres qu’il multiplie dans une parenthèse en conservant les signes.

Peut-être que vous visualiserez mieux l’objectif de cette méthode avec des nombres:

Certaines fois comme ici, ce sera à vous de faire apparaître plusieurs fois le facteur commun car il ne sera pas visible dès le 1er coup d’œil. Ici, nous avons 4 qui multiplie x, nous voulons donc un deuxième 4 multipliant un nombre pour le faire apparaître comme facteur commun, or 12 est justement le résultat de 4×3. Une fois 12 transformé en 4×3 nous pouvons utiliser la propriété du facteur commun.

Pour aller un peu plus loin…

Nous avons vu le cas simples où le facteur commun se trouvait être un seul terme (4), mais il peut arriver que le produit soit un peu plus long.

Par exemple:

Compliqué? D’apparences oui, mais en réalité si vous comprenez qu’ici :

  • k c’est (x+3)
  • a c’est (x+3) aussi
  • b c’est (-(2x+2))
  • alors k(a+b) c’est bien (x+3)((x+3)-(2x+2))

 

Dans tous les cas vous devez:

  1. identifier le facteur commun
  2. le faire apparaître si nécessaire
  3. le mettre en facteur
  4. mettre TOUS le reste dans une parenthèse en conservant les signes

 

Vous pensez avoir compris? Soyez-en sur en testant le petit Quizz ci-dessous:

 

2ème méthodes : Les identités remarquables

 

Il y a certaines choses (comme les tables) qu’il faut absolument connaître en maths, les identités remarquables en font partie et vous devez les connaître par cœur  avant d’aller plus loin dans cet article.

Voici un rapide rappel, avec en bonus le sens d’une factorisation et le sens d’un développement:

 

image: www.schoolmouv.fr

 

Dans l’immédiat, nous allons seulement nous intéresser à la factorisation, mais le développement va de paire avec celle-ci, le négliger serait une erreur.

En réalité une fois que vous connaissez vos identités remarquables, vous avez fait 80% du travail, il vous reste maintenant plus qu’à les .. identifier.

Prenons pour exemple l’expression ci-dessous:

Identifions:

a² = 9x² donc a = 3x (racine de 9x²)

b² = 25 donc b = 5 (racine de 25)

Vérifions:

2 x a x b = 2 x 3x x 5 = 30x qui est bien ce que nous avons comme 2ème terme.

Simplifions:

d’après l’une des identités remarquables, a²+2ab+b² = (a+b)², donc ici:

a=3x

b=5 donc:

9x²+30x+25 = (3x+5)²

Nous avons donc bien factorisé (on obtient un produit de (3x+5)(3x+5)).

 

La méthode des identités remarquables à retenir est celle-ci:

  1. connaître les identités remarquables
  2. identifier celle présente dans l’expression
  3. identifier a et b
  4. factoriser selon le modèle de l’identité

 

Si vous appliquer sérieusement la méthode étape après étape, cela deviendra de plus en plus naturel pour vous et vous gagnerez un temps précieux dans vos calculs tout en minimalisant les éventuelles erreurs de calculs.

 

Vous pensez avoir compris? Vérifiez dès maintenant grâce à ce Quizz rapide !

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