Comment utiliser le théorème de Thalès facilement ?

 

 

Parmi les formules à connaître absolument et les théorèmes à maîtriser, il y a bien évidemment Pythagore et son cousin germain… Thalès.

Comme la plupart des autres théorèmes, ne soyez pas inquiet, ce n’est pas si dur que ça en a l’air, mais en revanche il est primordiale de le maîtriser dans certains exercices.

 

A la fin de cette rapide leçon vous saurez :

  1. Reconnaître quand utilisez le théorème de Thalès
  2. Repérer les questions types
  3. Ecrire la formule du théorème de Thalès sans erreur
  4. Se servir du théorème de Thalès pour répondre aux questions types

 

Alors supprimer de votre esprit la rumeur disant que Thalès est compliqué, et allons y étape par étape. Feu !

 

  1. Reconnaître quand utiliser le Théorème de Thalès

 

Comme tout théorème, il sert forcément à quelques choses, et ce qui est pratique avec notre ami Thalès , c’est que les situations où vous devrez l’utiliser se reconnaissent comme un nez au milieu du visage !

le cas 2
le cas 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voici les deux cas possibles. Nous voyons bien ici qu’il s’agit de deux figures un peu spéciales que l’on peut reconnaître facilement visuellement.

Dans les 2 cas il s’agit de triangle quelconque disposé différemment.

Pour la suite, nous continuerons a appeler le premier cas: cas 1 ; et le deuxième cas : cas 2.

 

 

2. Les 2 types de questions possibles

 

En continuant avec ces 2 triangles un peu spéciales, on peut vous demander seulement 2 types de questions différentes.

Avant de vous les dévoiler, nommons quelques points sur nos triangles pour que ça soit plus facile :

 

cas 1
cas 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pourquoi les traits rouges? On y vient ! Les deux questions types seront (dans le cas 1 comme dans le cas 2) :

 

Les côtés BC et DE sont-ils parallèles ?

Quel est la mesure du côté gnagnagna ?

 

 

Si vous savez comment répondre à ces 2 questions, Thalès n’a plus de secret pour vous !

Bon, maintenant vous allez me dire, comment faire ?

 

 

 

3- Ecrire la formule du théorème de Thalès

 

Maintenant que nous avons nommé nos côtés, on va s’en servir pour répondre aux questions. Pour cela, assez simple, il faut connaître la fameuse relation entre ces côtés et puisqu’une image vaut mieux que mille mots, la voici:

 

cas 1
cas 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous avons chaque fois un grand côté et un petit côté, par exemple :

  • cas 1 : AC et AE ou BC et DE
  • cas 2 AC et AE ou BC et DE

 

Attention: dans le cas 1 on prend bien AC pour le petit côté et AE pour le grand!

Et bien le théorème de Thalès n’est rien de plus que les relations des petits côtés divisés par les plus grands:

 

 

Voilà, le fameux théorème de Thalès n’est rien de plus que cela, vous suivez toujours?

Avant de continuer, tenter le Quizz suivant pour voir si tout est bien assimiler ! 

Pas de panique, il n’y a que 2 questions…

Bienvenue  , tenter le quizz du Théorème de Thalès !

 

Laquelle de ces formules est la bonne?
Laquelle de ces formules est la bonne?

Si le quizz est bon, voyons maintenant que faire de cette formule !

 

 

 

4. Se servir du théorème de Thalès

 

Nous avons vu que les 2 questions types pour le théorème de Thalès étaient :

 

Les côtés AB et CD sont-ils parallèles ?

Quel est la mesure du côté gnagnagna ?

 

 

Commençons avec la 1ère , « Les côtés AB et CD sont-ils parralèles? ».

Peu importe la configuration dans laquelle nous nous trouvons, cas 1 ou cas 2, la démarche reste la même, on vous donne toutes les mesures et il ne vous reste plus qu’a:

 

  1. repérer les petits et grands côtés
  2. écrire la formule SANS les « = »
  3. calculer les 3 relations
  4. conclure si oui ou non c’est « = » une fois calculé !
    1. si les 3 relations donnent le même résultat, c’est égale et BC et DE sont parallèles
    2. sinon, on obtient 3 résultats différents et BC et DE ne sont pas parallèles

 

 

Si vous respectez correctement ces étapes, vous arriverez facilement à la réponse!

Essayons pour voir (on prendra le cas 1 ici mais la démarche est la même avec le cas 2) :

 

cas 2
  1. repérer les petits et grands côtés
    1. Ici nous voyons grâce aux différentes couleurs les petits et grands côtés, il faut commencer à vous y habituer.
  2. écrire la formule SANS les « = »
    1. Remplaçons:  qui nous donne    concernant le signe égale, nous ne pouvons pas le mettre pour l’instant puisque c’est justement ce que l’on cherche à savoir si c’est « = » ou pas « = ».
  3. calculer les 3 relations
    1. sortez les calculettes !  ce qui nous donne : 
  4. conclure si oui ou non c’est « = » une fois calculé !
    1.  les 3 relations donnent le même résultat, c’est égale et BC et DE sont parallèles

 

Comme dit précédemment, si vous suivez étape par étape la méthode, il ne peut rien vous arrivez !

 

Ici, si l’on obtenais  par exemple, nous étions dans la deuxième situations, c’est à dire:

 

  • si on obtient 3 résultats différents alors BC et DE ne sont pas parallèles (d’où l’absence du signe « = » puisque ce n’est pas égale)

Le mieux pour comprendre est d’essayer directement de l’appliquer, faîtes le petit test suivant! 

Bienvenue au test des droites parallèles

Les rapport (petit/grand) donne tous 0,48
Les droites FU et CX sont-elles parallèles? 
Les rapport petit/grand donne tous 0,5

 

Les droites ST et MN sont-elles parallèles?

 

Tant que cette partie n’est pas maîtrisée, relisez le début avant de passer à la suite. 

Si c’est bon, passons à la deuxième « grande » question : 

 

Quel est la mesure du côté gnagnagna ?

 

Bien entendu, par « gnagnagna » on  veut parler de N’IMPORTE quel côté du triangle. (plutôt utile non?)

 

La méthode pour répondre à cette question est relativement la même que pour la question précédente hormis que cette fois, on part du principe que l’on vous a dit dans l’énoncé que les droite BC et DE étaient parallèles, DONC on peut se permettre d’utilisé la formule :

  1.  avec les signes égales
  2.  avec les valeurs données 

Pour la démarche à suivre, la voici : 

  1. repérer les petits et grands côtés
  2. écrire la formule avec les bonnes valeurs
  3. repérer la valeur manquante recherchée
  4. faire un produit en croix pour la trouver….. je m’explique :
    1. repartons de ce cas là:  où il nous manque la valeurs de AD 
    2. pour la trouver il faudra faire un produit en croix de la façon suivante : c’est à dire : (AE x AB)/AC = la valeurs recherché de AD

 

 

 

Remarque: on aurait pu faire le produit en croix avec le couple BC/ED au lieu de prendre AC/AE, l’important c’est de connaître toute les valeurs d’un couple pour en déduire celle qui manque dans un autre couple, grâce au produit en croix. 

Si cela paraît flou sur un exemple avec des lettres, voyons maintenant ce que ça donne sur un exemple concret! 

 

Prenons le cas 2 pour changer : 

 

La question type serait : Quel est la mesure du côté AD ? en supposant que ED et BC sont parallèles. 

 

En partant de ça, suivons notre méthode:

 

  1. repérer les petits et grands côtés
    1. cas 2
  2. écrire la formule avec les bonnes valeurs
  3. repérer la valeurs manquante recherchée
  4. faire un produit en croix pour la trouver :
    1.  donc (5×1,2)/1 = 6 
    2. On en conclu que AD vaut 6 cm. 

 

Maintenant que nous avons vu la méthode, faites le test pour vérifier que tout est bien compris ! 

 

Bienvenue  au quizz !

Quelle est la mesure du côté ON ? En admettant que ST et MN sont parallèles
Quelle est la mesure de FU? En admettant que FU et CX sont parallèles

 

Alors? Si terrible? Je ne crois pas ! finalement comme pour la première question, si vous respectez correctement la méthode étape par étape, vous arriverez rapidement au résultat final. 

 

Voilà, on a maintenant fait le tour de ce qui est des questions types, elles vous seront généralement posées de la même manière (avec quelques petites variantes peut-être mais vous les détecterez pas d’inquiétude!). 

 

 

Pour terminez, faisons un rapide résumé des méthodes (applicables au 2 cas je le rappel!) en fonction de chaque question: 

Les côtés AB et CD sont-ils parallèles ?

    1. repérer les petits et grands côtés
    2. écrire la formule SANS les « = »
    3. calculer les 3 relations
    4. conclure si oui ou non c’est « = » une fois calculé !
      1. si les 3 relations donnent le même résultat, c’est égale et BC et DE sont parallèles
      2. sinon, on obtient 3 résultats différents et BC et DE ne sont pas parallèles

 

Quel est la mesure du côté gnagnagna ?

  1. repérer les petits et grands côtés
  2. écrire la formule avec les bonnes valeurs
  3. repérer la valeurs manquante recherchée
  4. faire un produit en croix pour la trouvé….. je m’explique :
    1. repartons de ce cas là:  où il nous manque la valeurs de AD 
    2. pour la trouvé il faudra faire un produit en croix de la façon suivante : c’est à dire : (AE x AB)/AC = la valeurs recherché de AD

 

 

 

Maintenant que vous avez tous les outils en main, à vous de jouer !

N’hésitez pas à vous appuyer sur la méthode au début puis d’essayer de vous en rappeler en fonction de la question demandé par la suite

 

 

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